设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且则式①的通解为______．

admin2019-02-23 118

问题设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y₁(x)，y₂(x)与y₃(x)是二阶非齐次线性方程
y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ①
的3个解，且

则式①的通解为______．

选项

答案y=C₁(y₁－y₂)+C₂(y₂－y₃)+y₁，其中C₁，C₂为任意常数

解析由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关即可．
y₁－y₂与y₂－y₃均是式①对应的齐次线性方程
y’’+p(x)y’+q(x)y=0 ②
的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在不全为零的常数k₁与k₂使
k₁(y₁－y₂)+k₂(y₂－y₃)=0． ③
设k₁≠0，又由题设知y₂－y₃≠0，于是式③可改写为

矛盾．
若k₁=0，由y₂－y₃≠0，故由式③推知k₂=0矛盾．这些矛盾证得y₁－y₂与y₂－y₃线性无关．
于是
y=C₁(y₁－y₂)+C₂(y₂－y₃) ④
为式②的通解，其中C₁，C₂为任意常数，从而知
y=C₁(y₁－y₂)+C₂(y₂－y₃)+y₁ ⑤
为式①的通解．

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考研数学一

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设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且则式①的通解为______．

考研数学一

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