设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0.设y1(x),y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解,且 则式①的通解为______.

admin2019-02-23  60

问题 设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0.设y1(x),y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程
    y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)    ①
的3个解,且
则式①的通解为______.

选项

答案y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y1,其中C1,C2为任意常数

解析 由非齐次线性方程的两个解,可构造出对应的齐次方程的解,再证明这样所得到的解线性无关即可.
    y1-y2与y2-y3均是式①对应的齐次线性方程
    y’’+p(x)y’+q(x)y=0    ②
的两个解.今证它们线性无关.事实上,若它们线性相关,则存在不全为零的常数k1与k2使
    k1(y1-y2)+k2(y2-y3)=0.    ③
设k1≠0,又由题设知y2-y3≠0,于是式③可改写为

矛盾.
若k1=0,由y2-y3≠0,故由式③推知k2=0矛盾.这些矛盾证得y1-y2与y2-y3线性无关.
于是
    y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)    ④
为式②的通解,其中C1,C2为任意常数,从而知
    y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y1    ⑤
为式①的通解.
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