设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中： ①AB～BA； ②A2～B2； ③AT～BT； ④A-1～B-1．正确的个数为 ( )

admin2019-01-06 48

问题设A，B均为n阶矩阵，A可逆且A～B，则下列命题中：
①AB～BA； ②A²～B²； ③A^T～B^T； ④A^-1～B^-1．
正确的个数为 ( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析由A～B可知：存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，故
P^-1A²P=B²，P^TA^T(P^T)^-1=B^T，P^-1A^-1P=B^-1，
所以A²～B²，A^T～B^T，A^-1～B^-1．又由于A可逆，可知A^-1(AB)A=BA，故AB~BA．所以正确的命题有4个，选(D)．

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