设函数y=f(x)在区间[0,1]上非负、存在二阶导数,且f(0)=0,有一块质量均匀的平板D,其占据的区域是曲线y=f(x)与直线x=1以及x轴围成的平面图形.用表示平板D的质心的横坐标.求证: 若f’(x)>0(0≤x≤1),则(如图1-10-4)

admin2021-07-08  55

问题 设函数y=f(x)在区间[0,1]上非负、存在二阶导数,且f(0)=0,有一块质量均匀的平板D,其占据的区域是曲线y=f(x)与直线x=1以及x轴围成的平面图形.用表示平板D的质心的横坐标.求证:

若f’(x)>0(0≤x≤1),则(如图1-10-4);

选项

答案设平板质量密度为ρ,则 [*] 欲证[*],只需证明[*] 令[*] 又 [*] 由积分中值定理,存在ξ∈(0,x),满足∫0xf(t)dt=xf(ξ).又f’(x)>0,故 [*] 所以F(x)在区间[0,1]上单调增加,因此当0<x≤1时,有F(x)>F(0)=0.所以有 [*]

解析
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