设f(x)在(-∞,+∞)上连续,下述命题 ①若对任意a,f(x)dx=0,则f(x)必是奇函数; ②若对任意a,f(x)dx=2f(x)dx,则f(x)必是偶函数; ③若f(x)为周期为T的奇函数,则F(x)=f(t)dt也具有周期T 正确的个数是

admin2019-08-11  48

问题 设f(x)在(-∞,+∞)上连续,下述命题
①若对任意a,f(x)dx=0,则f(x)必是奇函数;
②若对任意a,f(x)dx=2f(x)dx,则f(x)必是偶函数;
③若f(x)为周期为T的奇函数,则F(x)=f(t)dt也具有周期T
正确的个数是    (  )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案D

解析 ①是正确的.记F(a)=f(x)dx,有F′(a)=f(a)+f(-a).
由于F(a)≡0,所以F′(a)=0,即f(a)=-f(-a),f(x)为奇函数.
②是正确的.记F(a)=f(x)dx,F′(a)=f(a)+f(-a)-2f(a)≡0,所以f(-a)=f(a),f(x)为偶函数.

所以F(x)具有周期T.故应选(D).
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