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  3. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )

admin2018-04-14  69
问题 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则(    )
选项 A、当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。
B、当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。
C、当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。
D、当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。
答案A
解析 应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性。
f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=∫0xf(t)dt+C，于是
F(－x)=∫0－xf(t)dt+C∫0xf(－u)d(－u)+C。
当f(x)为奇函数时，f(－u)=－f(u)，从而有
F(－x)=∫0xf(u)du+C=∫0xf(t)dt+C=F(x)，
即F(x)为偶函数。故A为正确选项。
B，C，D可分别举反例如下：
f(x)=x2是偶函数，但其原函数F(x)=x3+1不是奇函数，可排除B；
f(x)=cos2x是周期函数，但其原函数F(x)=cos2x不是周期函数，可排除C；
f(x)=x在区间(－∞，+∞)内是单调增函数，但其原函数F(x)=1／2x2在区间(－∞，+∞)内不是单调增函数，可排除D。
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考研数学二

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