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设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( )
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( )
admin
2018-04-14
66
问题
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( )
选项
A、当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数。
B、当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数。
C、当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数。
D、当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数。
答案
A
解析
应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性。
f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=∫
0
x
f(t)dt+C,于是
F(-x)=∫
0
-x
f(t)dt+C
∫
0
x
f(-u)d(-u)+C。
当f(x)为奇函数时,f(-u)=-f(u),从而有
F(-x)=∫
0
x
f(u)du+C=∫
0
x
f(t)dt+C=F(x),
即F(x)为偶函数。故A为正确选项。
B,C,D可分别举反例如下:
f(x)=x
2
是偶函数,但其原函数F(x)=
x
3
+1不是奇函数,可排除B;
f(x)=cos
2
x是周期函数,但其原函数F(x)=
cos2x不是周期函数,可排除C;
f(x)=x在区间(-∞,+∞)内是单调增函数,但其原函数F(x)=1/2x
2
在区间(-∞,+∞)内不是单调增函数,可排除D。
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