2. 考研
  3. 设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y”﹢p(x)y’﹢q(x)y＝f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )

设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y”﹢p(x)y’﹢q(x)y＝f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )

admin2018-12-21  55
问题 设p(x)，q(x)，f(x)≠0均是关于x的已知连续函数，y1(x)，y2(x)，y3(x)是y”﹢p(x)y’﹢q(x)y＝f(x)的3个线性无关的解，C1，C2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是    (  )
选项 A、C1y1﹢(C2－C1)y2－(1﹢C2)y3．
B、(C1－C2)y1＋(C2－1)y2﹢(1－C1)y3．
C、(C1﹢C2)y1﹢(C1－C2)y2﹢(1－Cy2)y3．
D、C1y1﹢C2y2﹢(1－C1－C2)y3．
答案D
解析 实际上有下述定理．设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0，考虑下述两个方程
y”﹢p(x)y’﹢q(x)y＝f(x)    (*)
及对应的齐次方程
y”﹢p(x)y’﹢q(x)y＝0．    (**)
①设y1(x)，y2(x)，y3(x)是式(*)的3个解，A，B，C为常数．并设
y＝Ay1(x)﹢By2(x)﹢Cy3(x)．    (***)
则式(***)是式(*)的解的充要条件是
    A﹢B﹢C﹦1：
式(***)是式(**)的解的充要条件是
    A﹢B﹢C＝0．
②设y1(x)，y2(x)，y3(x)是式(*)的3个线性无关的解，A，B，C中有两个为任意常数．
则式(***)是式(*)的通解的充要条件是
    A﹢B﹢C＝1：
式(***)是式(**)的通解的充要条件是
    A﹢B﹢C＝0．
本题用到上述②．验算上述y1，y2，y3的系数之和，(D)的系数之和为C1﹢C2﹢(1－C1－C2)＝1．所以(D)是通解．
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考研数学二

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