设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=2α2+3α3． (I)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

admin2016-04-11 35

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂，α₃为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=2α₂+3α₃．
(I)证明α₁，α₂，α₃线性无关；
(Ⅱ)令P=[α₁，α₂，α₃]，求P^-1AP．

选项

答案(I)设存在一组常数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0 ① 用A左乘①式两端，并利用胁Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，一k₁α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0 ② ①一②，得 2k₁α₁一k₃α₂=0 ③ 因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而由③式知k₁=k₃=0，代入①式得k₂α₂=0，又由于α₂≠0，所以k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关． (Ⅱ)由题设条件可得 AP=A[α₁，α₂，α₃]=[Aα₁，Aα₂，Aα₃] =[一α₁，α₂，α₂+α₃]=[α₁，α₂，α₃][*] 由(I)知矩阵P可逆，用P^-1左乘上式两端，得 P^-1AP=[*]

解析

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考研数学一

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设A为3阶矩阵，α1，α2，α3为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=2α2+3α3． (I)证明α1，α2，α3线性无关； (Ⅱ)令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．

考研数学一

设连续非负函数f(x)满足f(x)f(－x)=1,则=________.

设由方程xef(y)=ey确定y为x的函数，其中f(x)二阶可导，且f’(1)≠1,则=________.

设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。

设f(x)是周期为1的周期函数，在[0，1]上可导，且f(1)=0，记证明：存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0；

设相似于对角矩阵，则a=________。

设正交矩阵，其中A是3阶矩阵，λ≠0，且A2=3A。求k1，k2，k3的值；

设(a＞0)，A是3阶非零矩阵，且ABT=0，则方程组Ax=0的通解为()

设f(x)=｜sinx｜在[0，(2n-1)π](n≥1)上与x轴所围区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为Vn，求

已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且对任意x有f(x)=f(x2)，f(1)=a，试求f(x)．

设χOy平面上有正方形D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1)及直线l：χ＋y＝t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫0χS(t)dt(χ≥0)．

患者，男，18岁，平素身体虚弱。现在左侧面瘫，口角歪斜。治疗除针刺主穴外，还应选用的是

不得发布广告的药品是()。

下列选项中，关于价量关系指标的说法正确的有()。

具有“蜀中第一菜”美誉的是()。

传送在线视频等实时性要求比较高但准确性要求相对较低的数据时，可以考虑在传输层采用协议()。

免疫研究室的钟教授说：“生命科学院从前的研究生那种勤奋精神越来越不多见了，因为我发现目前在我的研究生中，起早摸黑做实验的人越来越少了。”钟教授的论证基于以下哪项假设?

A、At9:00.B、At9:15.C、At9:25.D、At10:00.BM:Hello.ThisisTomDavisspeaking.IhaveanappointmentwithMrs.Jonesforni

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设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A*有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTA*Q=A。

设f(x)是周期为1的周期函数，在[0，1]上可导，且f(1)=0，记证明：存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0；

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设正交矩阵，其中A是3阶矩阵，λ≠0，且A2=3A。求k1，k2，k3的值；

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已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且对任意x有f(x)=f(x2)，f(1)=a，试求f(x)．

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患者，男，18岁，平素身体虚弱。现在左侧面瘫，口角歪斜。治疗除针刺主穴外，还应选用的是

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设A为3阶实对称矩阵，存在可逆矩阵，使得P-1AP=diag(1，2，-1)，A的伴随矩阵A有特征值λ0，对应的特征向量为α=(2，5，-1)T。求正交矩阵Q，使得QTAQ=A。