2. 考研
  3. 设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

admin2019-03-07  49
问题 设n元线性方程组Ax=b，其中

(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；
(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
选项
答案(Ⅰ)记Dn=｜A｜，将其按第一列展开得Dn=2aDn－1－a2Dn－2，所以 Dn－aDn－1=aDn－1－a2D－2=a(Dn－1－aDn－2) =a2(Dn－2－aDn－3)=…=an－2(D2一aD1)=an。 即 Dn=an+aDn－1=an+a(an－1+aDn－2)=2an+a2Dn－2 =…=(n－2)an+an－2D2=(n－1)an+an－1D1 =(n－1)an+an－1.2a=(n+1)an。 (Ⅱ)由克拉默法则，当a≠0时，方程组系数行列式Dn≠0，故方程组有唯一解。将Dn的第一列换成b，得行列式为 [*] (Ⅲ)方程组有无穷多解，则｜A｜=0，即当a=0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1，所以方程组有无穷多组解，其通解为 x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T， 其中k为任意常数。
解析
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考研数学一

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