设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

admin2019-03-07 69

问题设n元线性方程组Ax=b，其中

(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)aⁿ；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x₁；
(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

选项

答案(Ⅰ)记D_n=｜A｜，将其按第一列展开得D_n=2aD_n－1－a²D_n－2，所以 D_n－aD_n－1=aD_n－1－a²D_－2=a(D_n－1－aD_n－2) =a²(D_n－2－aD_n－3)=…=a^n－2(D₂一aD₁)=aⁿ。即 D_n=aⁿ+aD_n－1=aⁿ+a(a^n－1+aD_n－2)=2aⁿ+a²D_n－2 =…=(n－2)aⁿ+a^n－2D₂=(n－1)aⁿ+a^n－1D₁ =(n－1)aⁿ+a^n－1.2a=(n+1)aⁿ。 (Ⅱ)由克拉默法则，当a≠0时，方程组系数行列式D_n≠0，故方程组有唯一解。将D_n的第一列换成b，得行列式为 [*] (Ⅲ)方程组有无穷多解，则｜A｜=0，即当a=0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1，所以方程组有无穷多组解，其通解为 x=(0，1，…，0)^T+k(1，0，…，0)^T，其中k为任意常数。

解析

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设n元线性方程组Ax=b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。

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