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(2014年)设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上( )
(2014年)设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上( )
admin
2018-03-11
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问题
(2014年)设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上( )
选项
A、当f′(x)≥0时,f(x)≥g(x)
B、当f′(x)≥0时,f(x)≤g(x)
C、当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x)
D、当f"(x)≥0时,f(x)≤g(x)
答案
D
解析
方法一:首先将函数变形为
g(x)=f(1)一f(0)]x+f(0),
易知直线g(x)过曲线f(x)上的两个点(0,f(0)),(1,f(1)),则直线g(x)是曲线f(x)上的一条割线,当f"(x)≥0时,曲线f(x)为凹函数,连接曲线上任意两点的直线在曲线的上方,故g(x)≥f(x),故选D。
方法二:令F(x)=g(x)一f(x)=f(0)(1一x)+f(1)x一f(x),则F(0)=F(1)=0,且
F′(x)=一f(0)+f(1)一f′(x),F"(x)=一f"(x)。
若f"(x)≥0,则F"(x)≤0,曲线F(x)在[0,1]上是向上凸的。又F(0)=F(1)=0,所以当x∈[0,1]时,F(x)≥0,从而g(x)≥f(x),故选D。
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考研数学一
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