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已知α1,α2,α3是Ax=0的基础解系,则Ax=0的基础解系还可以表示为( ).
已知α1,α2,α3是Ax=0的基础解系,则Ax=0的基础解系还可以表示为( ).
admin
2016-11-03
32
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
是Ax=0的基础解系,则Ax=0的基础解系还可以表示为( ).
选项
A、P[α
1
,α
2
,α
3
]的三个列向量,其中P
3×3
是可逆阵
B、[α
1
,α
2
,α
3
]Q
3×3
的三个列向量,其中Q
3×3
是可逆阵
C、α
1
,α
2
,α
3
的一个等价向量组
D、α
1
,α
2
,α
3
的一个等秩向量组
答案
B
解析
方法一 对于[α
1
,α
2
,α
3
]Q,因α
1
,α
2
,α
3
线性无关,且Q可逆,故
r([α
1
,α
2
,α
3
]Q)=3,
[α
1
,α
2
,α
3
]Q的三个列向量仍然线性无关.又因Aα
i
=0(i=1,2,3),故
A[α
1
,α
2
,α
3
]=O,
两边右乘Q得
A[α
1
,α
2
,α
3
]Q=O.Q=O,
故[α
1
,α
2
,α
3
]Q的三个列向量仍是AX=0的解向量,且线性无关的解向量个数为3个,故它们仍为基础解系.仅(B)入选.
方法二 对于(A),因P
3×3
α
i
不一定是AX=0的解(AP
3×3
α
i
≠0).
对于(C),与α
1
,α
2
,α
3
等价的向量组,其向量个数可以超过3个(其秩等于3),且可以线性相关,还可以是用α
1
,α
2
,α
3
相互线性表出的向量组.
对于(D),因与α
1
,α
2
,α
3
等秩的向量组可能不是AX=0的解向量,且个数也可以超过3个,故(A)、(C)、(D)均不满足基础解系的条件,都不能入选.仅(B)入选.
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考研数学一
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