(1)设问k满足什么条件时,kE+A是正定矩阵; (2)A是n阶实对称矩阵,证明:存在大于零的实数k,使得kE+A是正定矩阵.

admin2018-11-11  45

问题 (1)设问k满足什么条件时,kE+A是正定矩阵;
    (2)A是n阶实对称矩阵,证明:存在大于零的实数k,使得kE+A是正定矩阵.

选项

答案(1)因A=AT,(kE+A)T=kET+AT=kE+A,故kE+A是实对称矩阵. 方法一 由[*] 知A有特征值λ1=0,λ23=3,则kE+A有特征值k,k+3,k+3,k+A正定[*]k>0. 方法二 [*] 综上,k>0. (2) 因A=AT,又(kE+A)T=kET+AT=kE+A,故kE+A是实对称矩阵.设A有特征值λ1,λ2,…,λn,且λ1≤λ2≤…≤λn,则kE+A有特征值k+λ1,…,k+λn,且k+λ1≤k+λ2≤…≤k+λn. [*]存在大于零的实数k,使得kE+A的特征值全部大于零,kE+A正定.

解析
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