2. 考研
  3. (1)设问k满足什么条件时，kE+A是正定矩阵； (2)A是n阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数k，使得kE+A是正定矩阵．

(1)设问k满足什么条件时，kE+A是正定矩阵； (2)A是n阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数k，使得kE+A是正定矩阵．

admin2018-11-11  99
问题 (1)设问k满足什么条件时，kE+A是正定矩阵；
    (2)A是n阶实对称矩阵，证明：存在大于零的实数k，使得kE+A是正定矩阵．
选项
答案(1)因A=AT，(kE+A)T=kET+AT=kE+A，故kE+A是实对称矩阵． 方法一 由[*] 知A有特征值λ1=0，λ2=λ3=3，则kE+A有特征值k，k+3，k+3，k+A正定[*]k＞0． 方法二 [*] 综上，k＞0． (2) 因A=AT，又(kE+A)T=kET+AT=kE+A，故kE+A是实对称矩阵．设A有特征值λ1，λ2，…，λn，且λ1≤λ2≤…≤λn，则kE+A有特征值k+λ1，…，k+λn，且k+λ1≤k+λ2≤…≤k+λn． [*]存在大于零的实数k，使得kE+A的特征值全部大于零，kE+A正定．
解析
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考研数学二

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