2. 考研
  3. 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2021-02-25  91
问题 在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
选项
答案曲线y=y(x)在点(x，y)处的法线方程是 [*] 令Y=0，得Q点坐标为(x+yy‘，0)． 由题意知[*]，y“＞0，即yy‘=1+y‘2，又曲线y=y(x)在点(1，1)处的切线与x轴平行，从而x=1时，y=1，y‘=0． 令y‘=p，则[*]，代入方程并整理得 [*] 即[*] 由初始条件y‘(1)=0，得C1=1，[*]，积分得archy=±x+C2，由y(1)=1，有C2=±1， 从而所求曲线方程为y=ch(x-1)．
解析
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考研数学二

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