在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

admin2021-02-25  46

问题 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

选项

答案曲线y=y(x)在点(x,y)处的法线方程是 [*] 令Y=0,得Q点坐标为(x+yy‘,0). 由题意知[*],y“>0,即yy‘=1+y‘2,又曲线y=y(x)在点(1,1)处的切线与x轴平行,从而x=1时,y=1,y‘=0. 令y‘=p,则[*],代入方程并整理得 [*] 即[*] 由初始条件y‘(1)=0,得C1=1,[*],积分得archy=±x+C2,由y(1)=1,有C2=±1, 从而所求曲线方程为y=ch(x-1).

解析
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