首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(I)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明AB和BA有相同的特征值,且AB~BA; (Ⅱ)对一般的n阶矩阵A,B,证明AB和BA有相同的特征值,并请问是否必有AB~BA?说明理由.
(I)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明AB和BA有相同的特征值,且AB~BA; (Ⅱ)对一般的n阶矩阵A,B,证明AB和BA有相同的特征值,并请问是否必有AB~BA?说明理由.
admin
2020-02-28
100
问题
(I)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明AB和BA有相同的特征值,且AB~BA;
(Ⅱ)对一般的n阶矩阵A,B,证明AB和BA有相同的特征值,并请问是否必有AB~BA?说明理由.
选项
答案
(I)因为A有n个互不相同的非零特征值λ=1,2,…,n,|A |=n!≠0,故A为可逆矩阵,从而有|λE-AB|=|A(λA
-1
)-B|=|A(λE-BA)A
-1
|=|A||λE-BA||A
-1
|=|λE-BA|, 即AB和BA有相同的特征多项式,故有相同的特征值. 又若取可逆矩阵P=A,则有P
-1
ABP=A
-1
ABA=BA,故有AB~BA. (Ⅱ)若AB有特征值λ=0,则|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|=0.故BA也有特征值λ=0. 若AB有特征值λ≠0,按定义,有ABξ=λξ(ξ≠0), 其中ξ是AB的对应特征值λ的特征向量. 用B左乘上式两端,得BABξ=λBξ. 即 BA(Bξ)=λ(Bξ), 其中Bξ≠0(若Bξ=0,则有ABξ=λξ=0.因ξ≠0,得λ=0,这和λ≠0矛盾).BA也有非零特征值λ,对应的特征向量为Bξ. 故AB和BA有相同的特征值. 一般AB与BA不相似.例如, [*] 故AB与BA不相似.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/kxA4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设3阶矩阵A的各行元素之和都为2,又α1=(1,2,2)T和α2=(0,2,1)T分别是(A-E)X=0的(A+E)X=0的解.(1)求A的特征值与特征向量.(2)求矩阵A.
设f(χ)连续,∫0χtf(χ-t)dt=1-cosχ,求f(χ)dχ.
设矩阵A=,|A|=-1,A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0,属于λ0的一个特征向量为α=(-1,-1,1)T求a,b,c和λ0的值.
设y=,且f′(χ)=lnχ,求y′.
计算
设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求
将函数展开成(x一2)的幂级数.
连续函数f(χ)满足f(χ)=3∫0χf(χ-t)dt+2,则f(χ)=_______.
设z=f(x2+y2+z2,xyz)且f一阶连续可偏导,则=_______
设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值,X1、Xn分别为对应于λ1和λn的特征向量,记求二元函数f(x,y)=(x2+y2≠0)的最大值,并求最大值点.
随机试题
变压器各主要参数是什么?
50kg体重的正常人的体液与血量分别为()
“系统的功能不是各个要素简单的叠加,而是大于各个个体的功效之和”描述的是系统的
A.手之阳经与手之阴经B.手之阳经与足之阳经C.手之阴经与足之阴经D.足之阳经与足之阴经E.手之阳经与足之阴经
有内在拟交感活性的B受体阻滞剂是
冰箱:肉类:蔬菜
开头部分加点的“它”所指代的是哪一项:“强子也有结构”,强子结构是由:
分组交换可以采用虚电路方式或(26)方式实现。虚电路方式在通信前需建立一条虚电路,其路径由(27)决定。每条虚电路都有虚电路号码,该号码(28)。虚电路建立后,各数据分组(29)到达目的地,然后(30)。
“先工作后判断”的循环程序结构中,循环体执行的次数最少是( )次。
在考生文件夹下,打开文档word1.docx,按照要求完成下列操作并以该文件名(word1.docx)保存文档。【文档开始】赵州桥在河北省赵县有一座世界闻名的石拱桥,叫赵州桥,又叫安济桥。它是隋朝的石匠李春设计并参加建造的,到现在已经有1300多年了
最新回复
(
0
)