2. 考研
  3. (I)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ＝1，2，…，n．证明AB和BA有相同的特征值，且AB～BA； (Ⅱ)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请问是否必有AB～BA?说明理由．

(I)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ＝1，2，…，n．证明AB和BA有相同的特征值，且AB～BA； (Ⅱ)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请问是否必有AB～BA?说明理由．

admin2020-02-28  101
问题 (I)设A，B是n阶矩阵，A有特征值λ＝1，2，…，n．证明AB和BA有相同的特征值，且AB～BA；
(Ⅱ)对一般的n阶矩阵A，B，证明AB和BA有相同的特征值，并请问是否必有AB～BA?说明理由．
选项
答案(I)因为A有n个互不相同的非零特征值λ＝1，2，…，n，｜A ｜＝n!≠0，故A为可逆矩阵，从而有｜λE－AB｜＝｜A(λA－1)－B｜＝｜A(λE－BA)A－1｜＝｜A｜｜λE－BA｜｜A－1｜＝｜λE－BA｜， 即AB和BA有相同的特征多项式，故有相同的特征值． 又若取可逆矩阵P＝A，则有P－1ABP=A－1ABA＝BA，故有AB～BA． (Ⅱ)若AB有特征值λ＝0，则｜AB｜＝｜A｜｜B｜＝｜B｜｜A｜＝｜BA｜＝0．故BA也有特征值λ＝0． 若AB有特征值λ≠0，按定义，有ABξ＝λξ(ξ≠0)， 其中ξ是AB的对应特征值λ的特征向量． 用B左乘上式两端，得BABξ＝λBξ． 即 BA(Bξ)＝λ(Bξ)， 其中Bξ≠0(若Bξ＝0，则有ABξ＝λξ＝0．因ξ≠0，得λ＝0，这和λ≠0矛盾)．BA也有非零特征值λ，对应的特征向量为Bξ． 故AB和BA有相同的特征值． 一般AB与BA不相似．例如， [*] 故AB与BA不相似．
解析
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考研数学二

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