(I)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明AB和BA有相同的特征值,且AB~BA; (Ⅱ)对一般的n阶矩阵A,B,证明AB和BA有相同的特征值,并请问是否必有AB~BA?说明理由.

admin2020-02-28  36

问题 (I)设A,B是n阶矩阵,A有特征值λ=1,2,…,n.证明AB和BA有相同的特征值,且AB~BA;
(Ⅱ)对一般的n阶矩阵A,B,证明AB和BA有相同的特征值,并请问是否必有AB~BA?说明理由.

选项

答案(I)因为A有n个互不相同的非零特征值λ=1,2,…,n,|A |=n!≠0,故A为可逆矩阵,从而有|λE-AB|=|A(λA-1)-B|=|A(λE-BA)A-1|=|A||λE-BA||A-1|=|λE-BA|, 即AB和BA有相同的特征多项式,故有相同的特征值. 又若取可逆矩阵P=A,则有P-1ABP=A-1ABA=BA,故有AB~BA. (Ⅱ)若AB有特征值λ=0,则|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|=0.故BA也有特征值λ=0. 若AB有特征值λ≠0,按定义,有ABξ=λξ(ξ≠0), 其中ξ是AB的对应特征值λ的特征向量. 用B左乘上式两端,得BABξ=λBξ. 即 BA(Bξ)=λ(Bξ), 其中Bξ≠0(若Bξ=0,则有ABξ=λξ=0.因ξ≠0,得λ=0,这和λ≠0矛盾).BA也有非零特征值λ,对应的特征向量为Bξ. 故AB和BA有相同的特征值. 一般AB与BA不相似.例如, [*] 故AB与BA不相似.

解析
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