设A，B为n阶正定矩阵，k＞0，证明kA，Ak，A-1，A*，A+B是正定阵．

admin2020-09-25 78

问题设A，B为n阶正定矩阵，k＞0，证明kA，A^k，A^-1，A*，A+B是正定阵．

选项

答案设A，B的特征值分别为λ₁，λ₂，…，λ_n，μ₁，μ₂，…，μ_n．因为A，B为正定矩阵，所以λ_i，μ_j＞0(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)．由特征值性质得： kA的特征值为kλ₁，kλ₂，…，kλ_n；A^k的特征值为λ₁^k，λ₂^k，…，λ_n^k；A^-1的特征值为[*]；A*的特征值为[*] 又因为k＞0可知kA，A^k，A^-1，A*的特征值均全为正，所以kA，A^-1，A*，A^k均为正定阵．又由A，B为正定矩阵知，对于任一n维非零向量x，均有x^TAx＞0，x^TBx＞0，所以x^T(A+B)x＞0，所以A+B也是正定阵．

解析

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考研数学三

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