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已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1) T十k1 (1,0,2,1) T+k2 (2,1,1,—1) T. 令C=(α1,α2,α3,α4,b),求Cx=b的通解.
已知A=(α1,α2,α3,α4),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1) T十k1 (1,0,2,1) T+k2 (2,1,1,—1) T. 令C=(α1,α2,α3,α4,b),求Cx=b的通解.
admin
2019-08-26
100
问题
已知A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),非齐次线性方程组Ax=b的通解为(1,1,1,1)
T
十k
1
(1,0,2,1)
T
+k
2
(2,1,1,—1)
T
.
令C=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
,b),求Cx=b的通解.
选项
答案
与第一题类似,先求Cx=0的基础解系. 由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵,故R(C)=R(A)=2,可知Cx=0的基础解系中含有5—2=3个线性无关的解向量,为此,需要找出Cx=0的三个线性无关的解. 由于(1,0,2,1)
T
,(2,1,1,—1)
T
均为Ax=0的解,可知(1,0,2,1,0)
T
,(2,1,l—l,0)
T
均为Cx=0的解.而(1,1,l,1,1)
T
为Ax=b的解,可知ɑ
1
+ɑ
2
+ɑ
3
+ɑ
4
=b,也即ɑ
1
+ɑ
2
+ɑ
3
+ɑ
4
—b=0,故(1,1,1,1,—1)
T
也为Cx=0的解. 这样,我们就找到了Cx=0的三个解:(1,0,2,l,0)
T
,(2,1,1,—1,0)
T
,(1,1,1,l,—1)
T
,容易验证它们是线性无关的,故它们即为Ck=0的基础解系. 最后,易知(0,0,0,0,1)
T
为Cx=b的解,故Cx=b的通解为 (0,0,0,0,1)
T
十k
1
(1,0,2,l,0)
T
+ k
2
(2,l,l,—1,0)
T
+ k
3
(1,l,1,1,—1)
T
,ki∈R,i=l,2,3.
解析
【思路探索】对于抽象型线性方程组,通常利用解的结构求解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gSJ4777K
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考研数学三
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