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设f(x)有二阶连续导数,且f(0)=0,f’(0)=1,且 [xy(x+y)-A x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程,求f(x).
设f(x)有二阶连续导数,且f(0)=0,f’(0)=1,且 [xy(x+y)-A x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0 为一全微分方程,求f(x).
admin
2017-07-10
93
问题
设f(x)有二阶连续导数,且f(0)=0,f’(0)=1,且
[xy(x+y)-A x)y]dx+[f’(x)+x
2
y]dy=0
为一全微分方程,求f(x).
选项
答案
由全微分方程的充要条件[*]得到 x
2
+2xy-f(x)=f"(x)+2xy, 即f”(x)+f(x)=x
2
,解之得通解为f(x)=C
1
cos x+C
2
sin x+x
2
-2. 由f(0)=0,f’(0)=1,解得C
1
=2,C
2
=1,因此f(x)=2cos x+sin x+x
2
-2.
解析
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考研数学二
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