[2003年] 设二次型 f(x2，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3 (b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正

admin2019-06-25 57

问题 [2003年] 设二次型
f(x₂，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2x₂²－2x₃²+2bx₁x₃ (b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

选项

答案解一由矩阵A的特征多项式[*] 解得A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=－3．对于特征值λ₁=λ₂=2，解方程组(2E－A)X=0．因 [*] 可得两个线性无关且相互正交的特征向量为ξ₁=[2，0，1]^T，ξ₂=[0，1，0]^T．对于特征值λ₃=－3，易求得特征向量为ξ₃=[1，0，－2]^T．由于ξ₁，ξ₂，ξ₃已是正交向量组，只需将其单位化，得 [*] 取矩阵[*]则Q为正交矩阵．在正交变换X=QY下，有[*]且二次型的标准形为f=2y₁²+2y₂²－3y₃²．解二由上题可得A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=－3．下同解一(略)．

解析

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考研数学三

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袋中有12只球，其中红球4个，白球8个，从中一次抽取2个球，求下列事件发生的概率：2个球中1个是红球1个是白球；

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且3f(0)=f(1)+2f(2)，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f′(ξ)=0．

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设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．设f(x)在(0，1)内可导，且证明(1)中的c是唯一的．

设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+Py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，()．

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哮证缓解期，属脾虚者，治疗宜用(　　)

对诊断不明的急腹症病人禁用泻药的主要原因是

在一定条件下，交易所会员的交易席位可以转让，但不得退回。()

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班轮运输的主要优点是()。

2003～2007年间，我国固定电话用户与移动电话用户数量最接近的年份是(　　)。根据所给材料，下列表述正确的一项是(　　)。

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