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[2003年] 设二次型 f(x2,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (b>0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正
[2003年] 设二次型 f(x2,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (b>0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正
admin
2019-06-25
39
问题
[2003年] 设二次型
f(x
2
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0),
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
解一 由矩阵A的特征多项式[*] 解得A的特征值λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3. 对于特征值λ
1
=λ
2
=2,解方程组(2E-A)X=0.因 [*] 可得两个线性无关且相互正交的特征向量为ξ
1
=[2,0,1]
T
,ξ
2
=[0,1,0]
T
. 对于特征值λ
3
=-3,易求得特征向量为ξ
3
=[1,0,-2]
T
. 由于ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,只需将其单位化,得 [*] 取矩阵[*]则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有[*]且二次型的标准形为f=2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
. 解二 由上题可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3.下同解一(略).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gTJ4777K
0
考研数学三
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