[2003年] 设二次型 f(x2,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (b>0), 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. 利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正

admin2019-06-25  49

问题 [2003年]  设二次型
             f(x2,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3  (b>0),
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
利用正交变换将二次型f化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

选项

答案解一 由矩阵A的特征多项式[*] 解得A的特征值λ12=2,λ3=-3. 对于特征值λ12=2,解方程组(2E-A)X=0.因 [*] 可得两个线性无关且相互正交的特征向量为ξ1=[2,0,1]T,ξ2=[0,1,0]T. 对于特征值λ3=-3,易求得特征向量为ξ3=[1,0,-2]T. 由于ξ1,ξ2,ξ3已是正交向量组,只需将其单位化,得 [*] 取矩阵[*]则Q为正交矩阵.在正交变换X=QY下,有[*]且二次型的标准形为f=2y12+2y22-3y32. 解二 由上题可得A的特征值为λ12=2,λ3=-3.下同解一(略).

解析
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