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设函数f(x)在区间[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1. 证明:存在ξ∈(0,3),使得f′(ξ)=0.
设函数f(x)在区间[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1. 证明:存在ξ∈(0,3),使得f′(ξ)=0.
admin
2018-04-15
21
问题
设函数f(x)在区间[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.
证明:存在ξ∈(0,3),使得f′(ξ)=0.
选项
答案
因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,故f(x)在[0,2]取到最大值M和最小值m,显然3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M,即m≤1≤M,由介值定理,存在c∈[0,2],使得f(c)=1. 因为f(x)在[f,3]上连续,在(f,3)内可导,且f(c′)=f(3)=1,根据罗尔定理,存在ξ∈(c,3)[*](0,3),使得f′(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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