设α为n维非零列向量，E为n阶单位阵，试证：A=E-(2／αTα)ααT为正交矩阵。

admin2019-07-19 42

问题设α为n维非零列向量，E为n阶单位阵，试证：A=E-(2／α^Tα)αα^T为正交矩阵。

选项

答案因为A^T=[E-(2／α^Tα)αα^T]^T=E-(2／α^Tα).αα^T，所以 AA^T=[E-(2／α^Tα)αα^T][E-(2／α^Tα).αα^T] =E-(4／α^Tα).αα^T+(2／α^Tα)².α(α^Tα)α^T [*]E-(4／α^Tα).αα^T+(4／α^Tα)αα^T=E。故A为正交矩阵。

解析

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