求微分方程x2y”＋2x2y”－xy’＋y＝0的通解．

admin2021-09-16 3

问题求微分方程x²y”＋2x²y”－xy’＋y＝0的通解．

选项

答案令x＝e^t，则xy’＝D，x²y”＝D(D－1)，x³y”＝D(D－1)(D－2)，即 xy’＝dy／dt，x²y”＝D(D－1)，x³y’’’＝D(D－1)(D－2)＝[*]，原方程化为[*]＋y＝0，特征方程为λ³－λ²－λ＋1＝0，解得特征值为λ₁＝－1，λ₂＝1，则方程[*]＋y＝0的通解为 y＝C₁e^－t＋(C₂＋C₃t)e^t，原方程的通解为y＝C₁／x＋(C₂＋C₃lnx)x(C₁，C₂为任意常数)．

解析

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