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  3. 设α1，α2，…，αn—1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn—1正交，则( )

设α1，α2，…，αn—1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn—1正交，则( )

admin2020-03-01  56
问题 设α1，α2，…，αn—1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn—1正交，则(    )
选项 A、α1，α2，…，αn—1，β1必线性相关。
B、α1，α2，…，αn—1，β1，β2必线性无关。
C、β1，β2必线性相关。
D、β1，β2必线性无关。
答案C
解析 由n+1个n维向量必线性相关可知B选项错；
若αi(i=1，2，…，n—1)是第i个分量为1，其余分量全为0的向量，β1是第n个分量为1，其余分量全为0的向量，β2是第n个分量为2，其余分量全为0的向量，则α1，α2，…，αn—1，β1线性无关，β2=2β1，所以A和D两项错误。由排除法，故选C。
下证C选项正确：
因α1，α2，…，αn—1，β1，β2必线性相关，所以存在n+1个不全为零的数k1，k2，…，kn—1，l1，l2，使
k1α1+k2α1+ … +kn—1αn—1+l1β1+l2β1=0，
又因为α1，α2，…，αn—1线性无关，所以l1，l2一定不全为零，否则α1，α2，…，αn—1线性相关，产生矛盾。
在上式两端分别与β1，β2作内积，有
(l1β1+l2β2，β1)=0，    (1)
(l1β1+l2β2，β2)=0，    (2)
联立两式，l1×(1)+l2×(2)可得
(l1β1+l2β2，l1β1+l2β2)=0，
从而可得    l1β1+l2β2=0，
故β1，β2必线性相关。
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考研数学二

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