设向量组(Ⅰ):a1,a2,a3;(Ⅱ):a1,a2,a4的秩分别为秩(Ⅰ)=2,秩(Ⅱ)=3.证明:向量组a1,a2,a3+a4的秩等于3.

admin2022-06-30  38

问题 设向量组(Ⅰ):a1,a2,a3;(Ⅱ):a1,a2,a4的秩分别为秩(Ⅰ)=2,秩(Ⅱ)=3.证明:向量组a1,a2,a3+a4的秩等于3.

选项

答案由向量组(Ⅱ)的秩为3,得a1,a2,a3线性无关,从而a1,a2线性无关, 由向量组(Ⅰ)的秩为2,得a1,a2,a3线性相关, 从而a3可由a1,a2线性表示,令a3=k1a1+k2a2. (a1,a2,a3+a4)=(a1,a2,k1a1+k2a2+a4)=(a1,a2,a4)[*], 由[*]=1≠0得矩阵[*]可逆,故r(a1,a2,a3+a4)=r(a1,a2,a4)=3.

解析
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