2. 考研
  3. 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且 ∫0πf(x)cos xdx=∫0πf(x)sin xdx=0。 求证：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．

设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且 ∫0πf(x)cos xdx=∫0πf(x)sin xdx=0。 求证：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．

admin2020-03-16  48
问题 设f(x)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且
    ∫0πf(x)cos xdx=∫0πf(x)sin xdx=0。
求证：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．
选项
答案首先证明f(x)在(0，π)内必有零点． 因为在(0，π)内f(x)连续，且sin x＞0，所以，若无零点，则恒有f(x)＞0或f(x)＜0，从而有∫0πf(x)sin xdx＞0或∫0πf(x)sin xdx＜0，与题设矛盾． 所以，f(x)在(0，π)内必有零点． 下面证明f(x)在(0，π)内零点不唯一，即至少有两个零点． 用反证法．假设f(x)在(0，π)内只有一个零点x0，则f(x)在(0，x0)和(x0，π)上取不同的符号(且不等于零)，否则与∫0πf(x)sin xdx=0矛盾．这样，函数sin(x一x0)f(x)在(0，x0)和(x0，π)上取相同的符号，即恒正或恒负． 那么有：∫0πf(x)sin(x一x0)dx≠0．但是 ∫0πf(x)sin(x一x0)dx=∫0πf(x)(sin xcos x0—cos xsin x0)dx =cos x0∫0πf(x)sin xdx—sin x0∫0πf(x)cos xdx=0． 从而矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．于是由罗尔定理即得存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．
解析
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考研数学二

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