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[2010年] 计算二重积分 I=drdθ, 其中D={(r,θ)∣0≤r≤secθ,0≤θ≤π/4).
[2010年] 计算二重积分 I=drdθ, 其中D={(r,θ)∣0≤r≤secθ,0≤θ≤π/4).
admin
2019-05-10
64
问题
[2010年] 计算二重积分
I=
drdθ,
其中D={(r,θ)∣0≤r≤secθ,0≤θ≤π/4).
选项
答案
本题的被积函数及积分区域不适合在极坐标系下求二重积分,而适合在直角坐标系下求解,故应转化为直角坐标系求之.为此正确写出直角坐标系下的积分区域D的表示式,然后化为累次积分求解. [*] 其中,区域D在直角坐标系中的表示式为D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤x}(见图1.5.3.6).这是因为r=secθ时,x=rcosθ=1,故0≤x≤1.而当0≤θ≤π/4时,y=rsinθ≤x=rcosθ;当θ=π/4时,y=x,故0≤y≤x. 所以 I=∫
0
1
dx∫
0
x
y[*]dy=∫
0
1
dx∫
0
x
[*](1-x
2
+y
2
) =∫
0
1
[*][1-(1-x
2
)
3/2
]dx=∫
0
1
[*]∫
0
x
(1-x
2
)
3/2
dx 而 ∫
0
1
(1-x
2
)
3/2
dx[*]∫
0
π/2
(1一sinx
2
)
3/2
dsint=∫
0
π/2
cos
3
xcosxdx =∫
0
π/2
cos
4
xdx=[*], 故I=[*].
解析
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0
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