[2010年] 计算二重积分 I=drdθ, 其中D={(r,θ)∣0≤r≤secθ,0≤θ≤π/4).

admin2019-05-10  43

问题 [2010年]  计算二重积分
I=drdθ,
其中D={(r,θ)∣0≤r≤secθ,0≤θ≤π/4).

选项

答案本题的被积函数及积分区域不适合在极坐标系下求二重积分,而适合在直角坐标系下求解,故应转化为直角坐标系求之.为此正确写出直角坐标系下的积分区域D的表示式,然后化为累次积分求解. [*] 其中,区域D在直角坐标系中的表示式为D={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤x}(见图1.5.3.6).这是因为r=secθ时,x=rcosθ=1,故0≤x≤1.而当0≤θ≤π/4时,y=rsinθ≤x=rcosθ;当θ=π/4时,y=x,故0≤y≤x. 所以 I=∫01dx∫0xy[*]dy=∫01dx∫0x[*](1-x2+y2) =∫01[*][1-(1-x2)3/2]dx=∫01[*]∫0x(1-x2)3/2dx 而 ∫01(1-x2)3/2dx[*]∫0π/2(1一sinx2)3/2dsint=∫0π/2cos3xcosxdx =∫0π/2cos4xdx=[*], 故I=[*].

解析
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