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设齐次线性方程组 其中a≠0,b≠0,n≥2。试讨论a,b为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解。
设齐次线性方程组 其中a≠0,b≠0,n≥2。试讨论a,b为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解。
admin
2018-04-18
86
问题
设齐次线性方程组
其中a≠0,b≠0,n≥2。试讨论a,b为何值时方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解。
选项
答案
方程组的系数行列式 |A|=[*]=[a+(n一1)b](a—b)
n-1
。 ①当a≠b,且a≠(1一n)b时,方程组仅有零解。 ②当a=b时,对系数矩阵A作初等变换,有 [*] 原方程组的同解方程组为x
1
,x
2
,…,x
n
=0,其基础解系为: α
1
=(一1,1,0,…,0)
T
,α
2
=(一1,0,1,…,0)
T
,…,α
n-1
=(一1,0,0,…,1)
T
。 方程组的全部解是: x=c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
n-1
α
n-1
(c
1
,c
2
,…,c
n-1
为任意常数)。 ③当a=(1一n)b时,对系数矩阵A作初等变换,有 [*] 原方程组的同解方程组为 [*] 其基础解系为β=(1,1,…,1)
T
,方程组的全部解是x=cβ(c为任意常数)。
解析
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考研数学三
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