以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0。 ②设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=。

admin2019-06-29 76

问题以下四个命题，正确的个数为( )
①设f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，则∫_-∞^+∞f(x)dx必收敛，且∫_-∞^+∞f(x)dx=0。
②设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且

存在，则∫_-∞^+∞f(x)dx必收敛，且∫_-∞^+∞f(x)dx=

。
③若∫_-∞^+∞f(x)dx与∫_-∞^+∞g(x)dx都发散，则∫_-∞^+∞[f(x)+g(x)]dx未必发散。
④若∫_-∞⁰f(x)dx与∫₀^+∞f(x)dx都发散，则∫_-∞^+∞f(x)dx未必发散。

选项 A、1个。
B、2个。
C、3个。
D、4个。

答案A

解析 ∫_-∞^+∞f(x)dx收敛

存在常数a，使∫_-∞^af(x)dx和∫_a^+∞f(x)dx都收敛，此时
∫_-∞^+∞f(x)dx=∫_-∞^af(x)dx+∫_a^+∞f(x)dx。
设f(x)=x，则f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且

。但是
∫_-∞⁰f(x)dx=∫_-∞⁰xdx=-∞，∫₀^+∞f(x)dx=∫_-∞^+∞xdx=+∞，
故∫_-∞^+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题。
设f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知∫_-∞^+∞f(x)dx与∫_-∞^+∞g(x)dx都发散，
但∫_-∞^+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故选A。

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考研数学二

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