设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*，r(A)=r＜n，证明：方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解．

admin2017-04-19 59

问题设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*，r(A)=r＜n，证明：方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解，而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解．

选项

答案由条件知齐次线性方程组Ax=0的基础解系含n一r个向量，设这个基础解系为ξ₁，ξ₂．…，ξ_n-r．则向量组 η*，η*+ξ₁，…，η*+ξ_n-r (*) 满足题意．首先，由解的性质易知(*)式中的n一r+1个向量均为方程组Ax=b的解；其次，由上题知(*)式中的向量组线性无关；再次，设x为方程组Ax=b的任一解，则x一η*为方程组Ax=0的解，因此x一η*可由ξ₁，…ξ

解析

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