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设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*,r(A)=r<n,证明:方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解,而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解.
设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*,r(A)=r<n,证明:方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解,而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解.
admin
2017-04-19
49
问题
设n元非齐次线性方程组Ax=b有解η*,r(A)=r<n,证明:方程组Ax=b有n一r+1个线性无关的解,而且这n一r+1个解可以线性表示方程组Ax=b的任一解.
选项
答案
由条件知齐次线性方程组Ax=0的基础解系含n一r个向量,设这个基础解系为ξ
1
,ξ
2
.…,ξ
n-r
.则向量组 η*,η*+ξ
1
,…,η*+ξ
n-r
(*) 满足题意.首先,由解的性质易知(*)式中的n一r+1个向量均为方程组Ax=b的解;其次,由上题知(*)式中的向量组线性无关;再次,设x为方程组Ax=b的任一解,则x一η*为方程组Ax=0的解,因此x一η*可由ξ
1
,…ξ
解析
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0
考研数学一
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