设矩阵仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2021-03-13 35

问题设矩阵

仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角矩阵．

选项

答案由[*]得特征值λ₁=1，λ₂=3，λ₃=b．由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b=1或b=3． 1°若b=1．因为A可相似对角化，所以r(A-E)=1，故a=1．(A-E)X=0的基础解系为ξ₁=(1，-l，0)^T，ξ₂=(0，0，1)^T．(A-3E)X=0的基础解系为ξ₃=(1，1，1)^T，[*] 2°若b=3，因为A可相似对角化，所以r(A-3E)=1，故a=-1．(A-E)X=0的基础解系为ξ₁=(-1，1，1)^T，(A-3E)X=0的基础解系为ξ₂=(0，0，1)^T，ξ₃=(1，1，0)^T，[*]

解析

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考研数学三

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