2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，其矩阵A满足A3=A，且行列式｜A｜＞0，矩阵A的迹trA＜0，则此二次型的规范形为

设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，其矩阵A满足A3=A，且行列式｜A｜＞0，矩阵A的迹trA＜0，则此二次型的规范形为

admin2016-01-23  35
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，其矩阵A满足A3=A，且行列式｜A｜＞0，矩阵A的迹trA＜0，则此二次型的规范形为
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案C
解析 本题考查求抽象二次型的规范形．由题设条件特点只要求得A的特征值即得．
    解：由条件A3=A可知A的特征值必满足λ3=λ，故λ=0，±1．又由｜A｜=λ1λ2λ3＞0，trA=λ1+λ2+λ3＜0知，矩阵A的特征值为1，-1，-1，故二次型xTAx的规范形为f(x1，x2，x3)=
    注：由n阶矩阵A满足f(A)=O可得A的特征值λ必满足方程f(λ)=0．但由f(λ)=0不能推得f(A)=O，且方程f(λ)=0的根不一定都是矩阵A的特征值．
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考研数学一

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