设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx,其矩阵A满足A3=A,且行列式|A|>0,矩阵A的迹trA<0,则此二次型的规范形为

admin2016-01-23  30

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx,其矩阵A满足A3=A,且行列式|A|>0,矩阵A的迹trA<0,则此二次型的规范形为

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案C

解析 本题考查求抽象二次型的规范形.由题设条件特点只要求得A的特征值即得.
    解:由条件A3=A可知A的特征值必满足λ3=λ,故λ=0,±1.又由|A|=λ1λ2λ3>0,trA=λ123<0知,矩阵A的特征值为1,-1,-1,故二次型xTAx的规范形为f(x1,x2,x3)=
    注:由n阶矩阵A满足f(A)=O可得A的特征值λ必满足方程f(λ)=0.但由f(λ)=0不能推得f(A)=O,且方程f(λ)=0的根不一定都是矩阵A的特征值.
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