设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解。

admin2021-11-25 110

问题设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=ce^x有特解y=e^2x+(1+x)e^x，确定常数a，b，c，并求该方程的通解。

选项

答案将y=e^2x+(1+x)e^x代入原方程得 (4+2a+b)e^2x+(3+2a+b)e^x+(1+a+b)xe^x=ce^x,则有 [*] 原方程为y"－3y’+2y=－e^x 原方程的特征方程为λ²－3λ+2=0，特征值为λ₁=1,λ₂=2,则y”－3y’+2y=0的通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x,于是原方程的通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x+e^2x+(1+x)e^x(C₁,C₂为任意常数).

解析

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