设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立f(tx，ty)=t2f(x，y)．证明：

admin2015-07-04 39

问题设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立f(tx，ty)=t²f(x，y)．
证明：

选项

答案方程f(tx，ty)=t²f(x，y)两边对t求导得xf₁’(tx，ty)+yf₂’(tx，ty)=2tf(x，y)，再对t求导得，x[xf₁₁’’(tx，ty)+yf₂₃’’(tx，ty)]+y[xf₂₁’’(tx，ty)+yf₂₂’’(tx，ty)]=2f(x，y)．于是tx[txf₁₁’’(tx，ty)+tyf"₁₂(tx，ty)]+ty[txf₂₁’’(tx，ty)+tyf₂₂’’(tx，ty)]=2t²f(x，y)=2f(tx，ty)，由此得x²f_xx’’(x，y)+2xyf_xy’’(x，y)+y²f’’_yy(x，y)=2f(x，y)．即结论成立．

解析

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考研数学一

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