设矩阵问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．

admin2021-11-09 58

问题设矩阵

问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P^一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．

选项

答案(1)由｜λE一A｜=0，求A的全部特征值． [*]得A的特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=1． (2)由(λE一A)x=0，求A的特征向量．对于λ₁=λ₂=一1，解线性方程组(-E-A)x=0，有[*] 要使矩阵A相似于对角矩阵，则对应于λ₁=λ₂=一1，必有两个线性无关的特征向量，所以r(-E-A)=3—2=1，从而有k=0．于是当k=0时，有[*] 得对应的两个线性无关的特征向量为ξ₁=(一1，2，0)^T，ξ₂=(1，0，2)^T．对于λ₃=1，解线性方程组(E-A)x=0，有[*] 得对应的线性无关的特征向量为ξ₃=(1，0，1)^T．因此，当k=0时，存在可逆矩阵[*]

解析本题主要考查矩阵可相似对角化的问题，行列式的计算及特征值、特征向量的计算．先求出矩阵A的特征值，只有当矩阵A有3个线性无关的特征向量时，A才相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵P，使得P^一1AP为对角矩阵，其中P是以A的3个线性无关的特征向量构成的矩阵．

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考研数学二

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