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设矩阵问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.
设矩阵问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P一1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.
admin
2021-11-09
47
问题
设矩阵
问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P
一1
AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵.
选项
答案
(1)由|λE一A|=0,求A的全部特征值. [*]得A的特征值为λ
1
=λ
2
=一1,λ
3
=1. (2)由(λE一A)x=0,求A的特征向量. 对于λ
1
=λ
2
=一1,解线性方程组(-E-A)x=0,有[*] 要使矩阵A相似于对角矩阵,则对应于λ
1
=λ
2
=一1,必有两个线性无关的特征向量,所以r(-E-A)=3—2=1,从而有k=0. 于是当k=0时,有[*] 得对应的两个线性无关的特征向量为ξ
1
=(一1,2,0)
T
,ξ
2
=(1,0,2)
T
. 对于λ
3
=1,解线性方程组(E-A)x=0,有[*] 得对应的线性无关的特征向量为ξ
3
=(1,0,1)
T
.因此,当k=0时,存在可逆矩阵[*]
解析
本题主要考查矩阵可相似对角化的问题,行列式的计算及特征值、特征向量的计算.先求出矩阵A的特征值,只有当矩阵A有3个线性无关的特征向量时,A才相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P,使得P
一1
AP为对角矩阵,其中P是以A的3个线性无关的特征向量构成的矩阵.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Wcy4777K
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考研数学二
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