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已知n阶矩阵A满足(A-aE)(A-bE)=0,其中a≠b,证明A可对角化.
已知n阶矩阵A满足(A-aE)(A-bE)=0,其中a≠b,证明A可对角化.
admin
2019-07-22
63
问题
已知n阶矩阵A满足(A-aE)(A-bE)=0,其中a≠b,证明A可对角化.
选项
答案
首先证明A的特征值只能是a或b. 设λ是A的特征值,则(λ-a)(λ-b)=0,即λ=a或λ=b. 如果b不是A的特征值,则A-bE可逆,于是由(A-aE)(A-bE)=0推出A-aE=0,即A=aE是对角矩阵. 如果b是A的特征值,则|A-bE|=0.设η
1
,η
2
,…,η
t
是齐次方程组(A-bE)X=0的一个基础解系(这里t=n-r(A-bE),它们都是属于b的特征向量.取A-bE的列向量组的一个最大无关组γ
1
,γ
2
,…,γ
k
,这里k=r(A-bE).则γ
1
,γ
2
,…,γ
k
是属于a的一组特征向量.则有A的k+t=n个线性无关的特征向量组γ
1
,γ
2
,…,γ
k
;η
1
,η
2
,…,η
t
,因此A可对角化.
解析
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考研数学二
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