已知n阶矩阵A满足(A-aE)(A-bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．

admin2019-07-22 74

问题已知n阶矩阵A满足(A-aE)(A-bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．

选项

答案首先证明A的特征值只能是a或b．设λ是A的特征值，则(λ-a)(λ-b)=0，即λ=a或λ=b．如果b不是A的特征值，则A-bE可逆，于是由(A-aE)(A-bE)=0推出A-aE=0，即A=aE是对角矩阵．如果b是A的特征值，则｜A-bE｜=0．设η₁，η₂，…，η_t是齐次方程组(A-bE)X=0的一个基础解系(这里t=n-r(A-bE)，它们都是属于b的特征向量．取A-bE的列向量组的一个最大无关组γ₁，γ₂，…，γ_k，这里k=r(A-bE)．则γ₁，γ₂，…，γ_k是属于a的一组特征向量．则有A的k+t=n个线性无关的特征向量组γ₁，γ₂，…，γ_k；η₁，η₂，…，η_t，因此A可对角化．

解析

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考研数学二

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