设二元函数f(x，y)=｜x-y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

admin2018-05-22 104

问题设二元函数f(x，y)=｜x-y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

选项

答案(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’_x(0，0)，f’_y(0，0)存在．因为f’_x(0，0)=[*] 且[*]=-φ(0，0)，所以φ(0，0)=0． (充分性)若φ(0，0)=0，则f’_z(0，0)=0，f’_y(0，0)=0．因为 [*] 又[*]≤2，所以[*]=0，即f(x，y)在点(0，0)处可微．

解析

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