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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在ξ,η∈(a,b)使得 eη-ξ[f[η)+f’(η)]=1。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在ξ,η∈(a,b)使得 eη-ξ[f[η)+f’(η)]=1。
admin
2018-12-27
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问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明:存在ξ,η∈(a,b)使得
e
η-ξ
[f[η)+f’(η)]=1。
选项
答案
构造辅助函数g(x)=e
x
,则g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且g’(x)=e
x
。由拉格朗日中值定理,至少存在一点ξ∈(a,b),使[*] 另作辅助函数F(x)=ef(x),F(x)在[a,b]连续,(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理得,存在η∈(a,b),[*]即 [*] 从而有e
η
[f(η)+f’(η)]=e
ξ
,即e
η-ξ
[f(η)+f’(η)]=1。
解析
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考研数学一
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