设f(x)是连续的偶函数，且f(x)以2π为周期，则g(x)=∫0xsin(x-t)f(t)dt必是( )

admin2022-04-27 30

问题设f(x)是连续的偶函数，且f(x)以2π为周期，则g(x)=∫₀^xsin(x-t)f(t)dt必是( )

选项 A、奇函数．
B、偶函数．
C、以π为周期的奇函数．
D、以2π为周期的偶函数．

答案B

解析 g(-x)=∫₀^-xsin(-x-t)f(t)dt

∫₀^xsin(-x+u)f(-u)d(-u)
=∫₀^xsin(x-u)f(u)du=g(x)，
故B正确．
对于C和D，g(x)不一定是周期函数，故C，D不成立．如取f(x)=cos x，则
g(x)=∫₀^xsin(x-t)cos tdt

显然g(x)不是周期函数．

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