设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0．记n阶矩阵A=αβT．求： A2；

admin2018-07-26 81

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^Tβ=0．记n阶矩阵A=αβ^T．求：
A²；

选项

答案由α^Tβ=0，有β^Tα=0．由A=αβ^T，有 A²=AA一(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)β^T=(β^Tα)(αβ^T)=O 即A²为n阶零矩阵．

解析主要考查矩阵乘法，注意这里首先由α^Tβ是1阶方阵，知其转置不变，得0=α^Tβ=(α^Tβ)^T=β^Tα；其次，在求A²时，利用了矩阵乘法的结合律，并利用已推得的β^Tα=0，很快推得A²=O，而并没有具体计算A并进而计算A²，可见作矩阵运算时一般要先作“字母运算”进行化简．

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