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设f(χ,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f′y(a,b)≠0,证明由方程f(χ,y)=0在χ=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(χ)在χ=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是:f(a,b)=0,f′χ(a,b)=0,且当r(a,b)>0时,
设f(χ,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f′y(a,b)≠0,证明由方程f(χ,y)=0在χ=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(χ)在χ=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是:f(a,b)=0,f′χ(a,b)=0,且当r(a,b)>0时,
admin
2016-10-21
85
问题
设f(χ,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f′
y
(a,b)≠0,证明由方程f(χ,y)=0在χ=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(χ)在χ=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是:f(a,b)=0,f′
χ
(a,b)=0,且当r(a,b)>0时,b=φ(a)是极大值;当r(a,b)<0时,b=φ(a)是极小值.其中r(a,b)=
.
选项
答案
y=φ(χ)在χ=a处取得极值的必要条件是φ′(a)=0.按隐函数求导法,φ′(χ)满足 f′
χ
(χ,φ(χ))+f′
y
(χ,φ(χ))φ′(χ)=0. (*) 因b=φ(a),则有 f(a,b)=0,φ′(a)=[*]=0, 于是f′((a,b)=0. 将(*)式两边对χ求导得 f〞
χχ
(χ,φ(χ))+f〞
χy
(χ,φ(χ))φ′(χ)+[*][f′
y
(χ,φ(χ))]+φ′(χ)+f′
y
(χ,φ(χ))φ〞(χ)=0, 上式中令χ=a,φ(a)=b,φ′(a)=0,得 φ〞(a)=[*]. 因此当[*]>0时,φ〞(a)<0,故b=φ(a)是极大值; 当[*]时,φ〞(a)>0,故b=φ(a)是极小值.
解析
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考研数学二
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