2. 考研
  3. 设f(χ，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f′y(a，b)≠0，证明由方程f(χ，y)＝0在χ＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(χ)在χ＝a处取得极值b＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0，f′χ(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，

设f(χ，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f′y(a，b)≠0，证明由方程f(χ，y)＝0在χ＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(χ)在χ＝a处取得极值b＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0，f′χ(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，

admin2016-10-21  105
问题 设f(χ，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f′y(a，b)≠0，证明由方程f(χ，y)＝0在χ＝a的某邻域所确定的隐函数y＝φ(χ)在χ＝a处取得极值b＝φ(a)的必要条件是：f(a，b)＝0，f′χ(a，b)＝0，且当r(a，b)＞0时，b＝φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b＝φ(a)是极小值．其中r(a，b)＝．
选项
答案y＝φ(χ)在χ＝a处取得极值的必要条件是φ′(a)＝0．按隐函数求导法，φ′(χ)满足 f′χ(χ，φ(χ))＋f′y(χ，φ(χ))φ′(χ)＝0． (*) 因b＝φ(a)，则有 f(a，b)＝0，φ′(a)＝[*]＝0， 于是f′((a，b)＝0． 将(*)式两边对χ求导得 f〞χχ(χ，φ(χ))＋f〞χy(χ，φ(χ))φ′(χ)＋[*][f′y(χ，φ(χ))]＋φ′(χ)＋f′y(χ，φ(χ))φ〞(χ)＝0， 上式中令χ＝a，φ(a)＝b，φ′(a)＝0，得 φ〞(a)＝[*]． 因此当[*]＞0时，φ〞(a)＜0，故b＝φ(a)是极大值； 当[*]时，φ〞(a)＞0，故b＝φ(a)是极小值．
解析
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考研数学二

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