(02年)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy (1)设M(x0,y0)为区域D上的一个点,问h(x,y)在该点沿平面上沿什么方向

admin2017-04-20  23

问题 (02年)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy
(1)设M(x0,y0)为区域D上的一个点,问h(x,y)在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D的边界曲线x2+y2一xy=75上找出使(1)中的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

选项

答案(1)由梯度的几何意义知,h(x,y)在点M(x0,y0)处沿梯度 [*] 方向的方向导数最大,方向导数的最大值为该梯度的模,所以 [*] (2)令f(x,y)=g2(x,y)=5x2+5y2一8xy 由题意,只需求f(x,y)在约束条件75一x2一y2+xy=0下的最大值点.令 L(x,y,λ)=5x2+5y2
解析
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