2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)， 其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明： f(a+b)≤f(a)+f(b)， 其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．

admin2016-09-13  105
问题 设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数fˊ(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：
f(a+b)≤f(a)+f(b)，
其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．
选项
答案当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ2，使得 [f(a+b)－f(b)]－[f(a)－f(0)]=afˊ(ξ2)－afˊ(ξ1)． 因为fˊ(x)在(0，c)内单调减少，所以fˊ(ξ2)≤fˊ(ξ1)，于是， [f(a+b)－f(b)]－[f(a)－f(0)]≤0， 即f(a+b)≤f(a)+f(b)． 于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)－f(b)－f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．
解析
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考研数学三

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