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设f(x)是连续函数. (1)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导,且F’(x)=f(x). (2)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
设f(x)是连续函数. (1)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导,且F’(x)=f(x). (2)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
admin
2016-01-15
105
问题
设f(x)是连续函数.
(1)利用定义证明函数F(x)=∫
0
x
f(t)dt可导,且F’(x)=f(x).
(2)当f(x)是以2为周期的周期函数时,证明函数G(x)=2∫
0
x
f(t)dt一x∫
0
2
f(t)dt也是以2为周期的周期函数.
选项
答案
(1)证明:由导数定义可得 [*] (2)根据题设,有 G’(x+2)=[2∫
0
x+2
f(t)dt一(x+2)∫
0
2
f(t)dt]’=2f(x+2)一∫
0
2
f(t)dt, G’(x)=[2∫
0
x
f(t)dt一x∫
0
2
f(t)dt]’=2f(x)一∫
0
2
f(t)dt 当f(x)是以2为周期的周期函数时,f(x+2)=f(x). 从而G’(x+2)=G’(x).因而 G(x+2)一G(x)=C. 取x=0得,C=G(0+2)一G(0)=0,故 G(x+2)一G(x)=0. 即G(x)=2∫
0
x
f(t)dt一x∫
0
2
f(t)dt是以2为周期的周期函数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hXw4777K
0
考研数学一
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