设f(x)是连续函数． (1)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导，且F’(x)=f(x)． (2)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．

admin2016-01-15 107

问题设f(x)是连续函数．
(1)利用定义证明函数F(x)=∫₀^xf(t)dt可导，且F’(x)=f(x)．
(2)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫₀^xf(t)dt一x∫₀²f(t)dt也是以2为周期的周期函数．

选项

答案(1)证明：由导数定义可得 [*] (2)根据题设，有 G’(x+2)=[2∫₀^x+2f(t)dt一(x+2)∫₀²f(t)dt]’=2f(x+2)一∫₀²f(t)dt， G’(x)=[2∫₀^xf(t)dt一x∫₀²f(t)dt]’=2f(x)一∫₀²f(t)dt 当f(x)是以2为周期的周期函数时，f(x+2)=f(x)．从而G’(x+2)=G’(x)．因而 G(x+2)一G(x)=C．取x=0得，C=G(0+2)一G(0)=0，故 G(x+2)一G(x)=0．即G(x)=2∫₀^xf(t)dt一x∫₀²f(t)dt是以2为周期的周期函数．

解析

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考研数学一

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设f(x)是连续函数． (1)利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导，且F’(x)=f(x)． (2)当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．

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