设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得F(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)有界．

admin2021-11-09 35

问题设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限

．证明：
(Ⅰ)设A＜B，则对

μ∈(A，B)，

ξ∈(－∞，+∞)，使得F(ξ)=μ；
(Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)有界．

选项

答案利用极限的性质转化为有界区间的情形． (Ⅰ)由[*]=A＜μ及极限的不等式性质可知，[*]X₁使得f(X₁)＜μ．由[*]=B＞μ可知，[*]X₂＞X₁使得f(X₂)＞μ．因f(x)在[X₁，X₂]连续，F(X₁)＜μ＜f(X₂)，由连续函数介值定理知[*](－∞，+∞)，使得F(ξ)=μ． (Ⅱ)因[*]，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，[*]X₁使得当x∈(－∞，X₁)时f(x)有界；[*]X₂(＞X₁)使得当x∈(X₂，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X₁，X₂]上有界．因此f(x)在(－∞，+∞)上有界．

解析

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考研数学二

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设f(x)在(－∞，+∞)连续，存在极限．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对μ∈(A，B)，ξ∈(－∞，+∞)，使得F(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(－∞，+∞)有界．

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设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，A为A的伴随矩阵，又知方程组Ax=0的基础解系为(1，0，2，0)T，则方程组Ax=0基础解系为()．

设=A,证明：数列{an}有界。

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设A,B,C,D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n.设ξ1,ξ2,...,ξr与η1,η2,...,ηs分别为方程组AX=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1,ξ2,...,ξr，η1,η2,...,ηs线性无关。

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(I)设f(x1，x2，x3)=x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定阵；(Ⅱ)设求可逆阵D，使A=DTD．

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要形成各种所有制经济平等竞争、相互促进新格局，就要坚持和完善公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度，毫不动摇地()。

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