2. 考研
  3. 已知齐次线性方程组＝有非零解， 且矩阵A＝晕正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX＝2时，XTAX的最大值，其中X＝(χ1，χ2，χ3)T∈R3．

已知齐次线性方程组＝有非零解， 且矩阵A＝晕正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX＝2时，XTAX的最大值，其中X＝(χ1，χ2，χ3)T∈R3．

admin2021-11-09  23
问题 已知齐次线性方程组＝有非零解，
    且矩阵A＝晕正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX＝2时，XTAX的最大值，其中X＝(χ1，χ2，χ3)T∈R3．
选项
答案(1)由方程组的系数行列式△＝a(a＋1)(a－3)＝0，[*]a的取值范围为：0，－1，3，再由矩阵A正定，得a＝3；(2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ＝10ξ，且ξTξ＝1)．对二次型XTAX，存在正交变换X＝PY，使XTAX[*]λ1y12＋λ2y22＋λ3y32≤10(y12＋y22＋y32)，当XTX＝YTY＝y12＋y22＋y32＝2时，有XTAX≤10×2＝20，又X0＝[*]满足X0TX0＝2，且X0TAX0＝[*]＝2ξT(Aξ)＝2ξT(10ξ)＝20(ξTξ)＝20，综上可知[*]XTAX＝20．
解析
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考研数学二

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