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设y=f(χ)为区间[0,1]上的非负连续函数. (1)证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(χ)为曲边的曲边梯形的面积; (2)设f(χ)在(0,1)内可导,且f′(χ)>-,
设y=f(χ)为区间[0,1]上的非负连续函数. (1)证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(χ)为曲边的曲边梯形的面积; (2)设f(χ)在(0,1)内可导,且f′(χ)>-,
admin
2021-11-09
38
问题
设y=f(χ)为区间[0,1]上的非负连续函数.
(1)证明存在c∈(0,1),使得在区间[0,c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c,1]上以y=f(χ)为曲边的曲边梯形的面积;
(2)设f(χ)在(0,1)内可导,且f′(χ)>-
,证明(1)中的c是唯一的.
选项
答案
(1)S
1
(c)=cf(c),S
2
(c)=∫
c
1
f(t)dt=-∫
1
c
f(t)dt, 即证明S
1
(c)=S
2
(c),或cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0. 令φ(χ)=χ∫
1
χ
f(t)dt,φ(0)=φ(1)=0, 根据罗尔定理,存在c∈(0,1),使得φ′(c)=0,即cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0,所以S
1
(c)=S
2
(c),命题得证. (2)令h(χ)=χf(χ)-∫
χ
1
f(t)dt,因为h′(χ)=2f(χ)+χf′(χ)>0,所以h(χ)在[0,1]上为单调函数,所以(1)中的c是唯一的.
解析
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考研数学二
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