2. 考研
  3. (2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：aχ＋2by＋3c＝0，l2：bχ＋2cy＋3a＝0，l3：cχ＋2ay＋3b＝0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

(2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：aχ＋2by＋3c＝0，l2：bχ＋2cy＋3a＝0，l3：cχ＋2ay＋3b＝0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

admin2021-01-19  48
问题 (2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1：aχ＋2by＋3c＝0，l2：bχ＋2cy＋3a＝0，l3：cχ＋2ay＋3b＝0
    试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．
选项
答案必要性：设三直线l1，l2，l3交于一点，则二元线性方程组 [*] 有惟一解，故其系数矩阵A＝[*]与增广矩阵[*]的秩均为2，于是有[*]＝0． 由于[*] ＝6(a＋b＋c)[a2＋b2＋c2－ab－ac－bc] ＝3(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2] 及(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0(否则a＝b＝c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点，与交点惟一矛盾)，所以a＋b＋c＝0． 充分性：若a＋b＋c＝0，则由必要性的证明知[*]＝0，故秩([*])＜3，又系数矩阵A中有一个二阶子式 [*] 故秩(A)＝2，于是有秩(A)＝秩([*])＝2，因此方程组(*)有惟一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．
解析
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考研数学二

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