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(2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:aχ+2by+3c=0,l2:bχ+2cy+3a=0,l3:cχ+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
(2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:aχ+2by+3c=0,l2:bχ+2cy+3a=0,l3:cχ+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2021-01-19
60
问题
(2003年)已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:aχ+2by+3c=0,l
2
:bχ+2cy+3a=0,l
3
:cχ+2ay+3b=0
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
必要性:设三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则二元线性方程组 [*] 有惟一解,故其系数矩阵A=[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于是有[*]=0. 由于[*] =6(a+b+c)[a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc] =3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
] 及(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
≠0(否则a=b=c,则三条直线重合,从而有无穷多个交点,与交点惟一矛盾),所以a+b+c=0. 充分性:若a+b+c=0,则由必要性的证明知[*]=0,故秩([*])<3,又系数矩阵A中有一个二阶子式 [*] 故秩(A)=2,于是有秩(A)=秩([*])=2,因此方程组(*)有惟一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
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考研数学二
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