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设随机变量X和Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(一3,4),则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_____.
设随机变量X和Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(一3,4),则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_____.
admin
2017-08-07
26
问题
设随机变量X和Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(一3,4),则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_____.
选项
答案
[*]
解析
因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布,所以Z=一2X+3Y+5服从正态分布.要求f(z)=
.则需确定参数μ与σ的值.又E(Z)=μ,D(Z)=σ
2
,因此归结为求E(Z)与D(Z).根据数学期望和方差的性质及
E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=一3, D(Y)=4,
可得 E(Z)=E(一2X+3Y+5)=一2E(X)+3E(Y)+5
=(一2)×1+3×(一3)+5 =一6,
D(Z)=D(一2X+3Y+5)=(一2)
2
D(X)+3
2
D(Y)=4×2+9×4=44.
因此Z的概率密度为
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考研数学一
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