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  3. 设矩阵A=，B=P-1A*P，求P+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

设矩阵A=，B=P-1A*P，求P+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

admin2019-02-26  49
问题 设矩阵A=，B=P-1A*P，求P+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。
选项
答案设A的特征值为λ，对应特征向量为η，则有Aη=λη。由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0。 又因A*A=｜A｜E，故有A*η=[*]。于是有 B(P-1η)=P-1A*P(P-1η)=[*](P-1η) (B+2E)P-1η=[*]P-1η 因此，[*]+2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P-1η。 由于 ｜λE-A｜=[*]=(λ-1)2(λ-7)， 故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7。 当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为η1=[*] 当λ3=7时，对应的一个特征向量可取为η3=[*] 由P-1= [*] 因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3。 对应于特征值9的全部特征向量为 k1P-1η1+k2P-1η2=k1[*]，其中k1，k2是不全为零的任意常数； 对应于特征值3的全部特征向量为 k3P-1η3=k3[*]，其中k3是不为零的任意常数。
解析
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考研数学一

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