已知A，A—E都是n阶实对称正定矩阵，证明E—A－1是正定矩阵．

admin2016-10-26 43

问题已知A，A—E都是n阶实对称正定矩阵，证明E—A^－1是正定矩阵．

选项

答案(特征值法) 由(E一A^－1)^T=E^T一(A^－1)^T=E一(A^T)^－1=E—A^－1知，E—A^－1是对称矩阵．设λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，则A—E与E—A^－1的特征值分别是λ₁一1，λ₂—1，…，λ_n一1与1一[*]．由于A—E正定，其特征值λ_i一1全大于0，那么[*]＜1，从而E一A^－1的特征值全大于0，即E一A^－1是正定矩阵．

解析

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