已知A,A—E都是n阶实对称正定矩阵,证明E—A-1是正定矩阵.

admin2016-10-26  22

问题 已知A,A—E都是n阶实对称正定矩阵,证明E—A-1是正定矩阵.

选项

答案(特征值法) 由(E一A-1)T=ET一(A-1)T=E一(AT)-1=E—A-1知,E—A-1是对称矩阵.设λ1,λ2,…,λn是A的特征值,则A—E与E—A-1的特征值分别是λ1一1,λ2—1,…,λn一1与1一[*].由于A—E正定,其特征值λi一1全大于0,那么[*]<1,从而E一A-1的特征值全大于0,即E一A-1是正定矩阵.

解析
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