(2005年试题，20)已知二次型f(x1，x2，x3)=(1—a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求正交变换x=Qy，把，(x1，x2，x3)化成标准形；

admin2013-12-27 81

问题 (2005年试题，20)已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=(1—a)x₁²+(1一a)x₂²+2x₃²+2(1+a)x₁x₂的秩为2．
求正交变换x=Qy，把，(x₁，x₂，x₃)化成标准形；

选项

答案由[*]知矩阵A的特征值为2，2．0．对于λ=2，由(2E一A)x=0，[*]得特征向量α₁=(1，0，0)^T，α₂=(0，0，1)^T．对于λ=0，由(0E—A)x=0，[*]得特征向量α₃=(1，一1，0)^T．由于特征向量已经两两正交，只需单位化，于是有[*]令[*]那么，经正交变换x=Qy有f(x₁，x₂，x₃)=2y₁²+2y₂²

解析

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考研数学一

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