(93年)设x＞0．常数a＞e．证明：(a+x)a＜aa+x

admin2018-07-27 71

问题 (93年)设x＞0．常数a＞e．证明：(a+x)^a＜a^a+x

选项

答案由于y=lnx为单调增函数，所以欲证(a+x)^a＜a^n+x．只需证aln(a+x)＜(a+x)lna．令 f(x)=(a+x)lna—aln(a+x) [*]，由于a＞e，则lna＞1，又x＞0．则[*]故f’(x)＞0，所以函数f(x)在[0，+∞)上单调增加．而f(0)=0所以f(x)＞0(0＜x＜+∞) 即 aln(a+x)＜(a+x)lna． (a+x)^a＜a^a+x。

解析

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若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内
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设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)．证明：ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ10)=f’(ξ2)=0．
设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．
求双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)所围成的面积．
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