(93年)设x＞0．常数a＞e．证明：(a+x)a＜aa+x

admin2018-07-27 61

问题 (93年)设x＞0．常数a＞e．证明：(a+x)^a＜a^a+x

选项

答案由于y=lnx为单调增函数，所以欲证(a+x)^a＜a^n+x．只需证aln(a+x)＜(a+x)lna．令 f(x)=(a+x)lna—aln(a+x) [*]，由于a＞e，则lna＞1，又x＞0．则[*]故f’(x)＞0，所以函数f(x)在[0，+∞)上单调增加．而f(0)=0所以f(x)＞0(0＜x＜+∞) 即 aln(a+x)＜(a+x)lna． (a+x)^a＜a^a+x。

解析

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